При изменении положения тела изменяется его потенциальная энергия. Таким образом. Что такое потенциальная энергия Потенциальная энер

1. С понятием энергии вы познакомились в курсе физики 7 класса. Вспомним его. Предположим, что некоторое тело, например тележка, съезжает с наклонной плоскости и передвигает лежащий у ее основания брусок. Говорят, что тележка совершает работу. Действительно, она действует на брусок с некоторой силой упругости и брусок при этом перемещается.

Другой пример. Водитель автомобиля, движущегося с некоторой скоростью, нажимает на тормоз, и автомобиль спустя какое‑то время останавливается. В этом случае также автомобиль совершает работу против силы трения.

Говорят, что если тело может совершить работу, то оно обладает энергией .

Энергию обозначают буквой E . Единица энергии в СИ - джоуль (1 Дж ).

2. Различают два вида механической энергии - потенциальная и кинетическая.

Потенциальной энергией называют энергию взаимодействия тел или частей тела, зависящую от их взаимного положения.

Потенциальной энергией обладают все взаимодействующие тела. Так, любое тело взаимодействует с Землей, следовательно, тело и Земля обладают потенциальной энергией. Частицы, из которых состоят тела, тоже взаимодействуют между собой, и они также обладают потенциальной энергией.

Поскольку потенциальная энергия - это энергия взаимодействия, то она относится не к одному телу, а к системе взаимодействующих тел. В том случае, когда мы говорим о потенциальной энергии тела, поднятого над Землей, систему составляют Земля и поднятое над ней тело.

3. Выясним, чему равна потенциальная энергия тела, поднятого над Землей. Для этого найдем связь между работой силы тяжести и изменением потенциальной энергии тела.

Пусть тело массой m падает с высоты h 1 до высоты h 2 (рис. 72). При этом перемещение тела равно h = h 1 – h 2 . Работа силы тяжести на этом участке будет равна:

A = F тяж h = mgh = mg (h 1 – h 2), или
A = mgh 1 – mgh 2 .

Величина mgh 1 = E п1 характеризует начальное положение тела и представляет собой его потенциальную энергию в начальном положении, mgh 2 = E п2 - потенциальная энергия тела в конечном положении. Формулу можно переписать следующим образом:

A = E п1 – E п2 = –(E п2 – E п1).

При изменении положения тела изменяется его потенциальная энергия. Таким образом,

работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

Знак «минус» означает, что при падении тела сила тяжести совершает положительную работу, а потенциальная энергия тела уменьшается. Если тело движется вверх, то сила тяжести совершает отрицательную работу, а потенциальная энергия тела при этом увеличивается.

4. При определении потенциальной энергии тела необходимо указывать уровень, относительно которого она отсчитывается, называемый нулевым уровнем .

Так, потенциальная энергия мяча, пролетающего над волейбольной сеткой, относительно сетки имеет одно значение, а относительно пола спортзала - другое. При этом важно, что разность потенциальных энергий тела в двух точках не зависит от выбранного нулевого уровня. Это означает, что работа, совершенная за счет потенциальной энергии тела, не зависит от выбора нулевого уровня.

Часто за нулевой уровень при определении потенциальной энергии принимают поверхность Земли. Если тело падает с некоторой высоты на поверхность Земли, то работа силы тяжести равна потенциальной энергии: A = mgh .

Следовательно, потенциальная энергия тела, поднятого на некоторую высоту над нулевым уровнем, равна работе силы тяжести при падении тела с этой высоты до нулевого уровня.

5. Потенциальной энергией обладает любое деформированное тело. При сжатии или растяжении тела оно деформируется, изменяются силы взаимодействия между его частицами и возникает сила упругости.

Пусть правый конец пружины (см. рис. 68) перемещается из точки с координатой Dl 1 в точку с координатой Dl 2 . Напомним, что работа силы упругости при этом равна:

A =– .

Величина = E п1 характеризует первое состояние деформированного тела и представляет собой его потенциальную энергию в первом состоянии, величина = E п2 характеризует второе состояние деформированного тела и представляет собой его потенциальную энергию во втором состоянии. Можно записать:

A = –(E п2 – E п1), т. е.

работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии пружины, взятому с противоположным знаком.

Знак «минус» показывает, что в результате положительной работы, совершенной силой упругости, потенциальная энергия тела уменьшается. При сжатии или растяжении тела под действием внешней силы его потенциальная энергия увеличивается, а сила упругости совершает отрицательную работу.

Вопросы для самопроверки

1. Когда можно сказать о том, что тело обладает энергией? Какова единица энергии?

2. Какую энергию называют потенциальной?

3. Как вычислить потенциальную энергию тела, поднятого над Землей?

4. Зависит ли потенциальная энергия тела, поднятого над Землей, от нулевого уровня?

5. Как вычислить потенциальную энергию упруго деформированного тела?

Задание 19

1. Какую работу надо совершить, чтобы переложить пакет с мукой массой 2 кг с полки, находящейся на высоте 0,5 м относительно пола, на стол, находящийся на высоте 0,75 м относительно пола? Чему равны относительно пола потенциальная энергия пакетас мукой, лежавшего на полке, и его потенциальная энергия тогда, когда он находится на столе?

2. Какую работу надо совершить, чтобы пружину жесткостью 4 кН/м перевести в состояние 1 , растянув ее на 2 см? Какую дополнительную работу надо совершить, чтобы перевести пружину в состояние 2 , растянув ее еще на 1 см? Чему равно изменение потенциальной энергии пружины при ее переводе в состояние 1 и из состояния 1 в состояние 2 ? Чему равна потенциальная энергия пружины в состоянии 1 и в состоянии 2 ?

3. На рисунке 73 приведен график зависимости силы тяжести, действующей на мяч, от высоты подъема мяча. Вычислите, пользуясь графиком, потенциальную энергию мяча на высоте 1,5 м.

4. На рисунке 74 приведен график зависимости удлинения пружины от действующей на нее силы. Чему равна потенциальная энергия пружины при удлинении 4 см?

Работа и кинетическая энергия

Энергия – скалярная величина. В системе СИ единицей измерения энергии является Джоуль.

Кинетическая и потенциальная энергия

Различают два вида энергии – кинетическую и потенциальную.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Кинетическая энергия – это энергия, которой тело обладает вследствие своего движения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Потенциальная энергия – это энергия, которая определяется взаимным расположением тел, а также характером сил взаимодействия между этими телами.

Потенциальная энергия в поле тяготения Земли – это энергия, обусловленная гравитационным взаимодействием тела с Землей. Она определяется положением тела относительно Земли и равна работе по перемещению тела из данного положения на нулевой уровень:

Потенциальная энергия – энергия, обусловленная взаимодействием частей тела друг с другом. Она равна работе внешних сил по растяжению (сжатию) недеформированной пружины на величину :

Тело может одновременно обладать и кинетической, и потенциальной энергией.

Полная механическая энергия тела или системы тел равна сумме кинетической и потенциальной энергий тела (системы тел):

Закон сохранения энергии

Для замкнутой системы тел справедлив закон сохранения энергии:

В случае, когда на тело (или систему тел) действуют внешние силы, например, закон сохранения механической энергии не выполняется. В этом случае изменение полной механической энергии тела (системы тел) равно внешних сил:

Закон сохранения энергии позволяет установить количественную связь между различными формами движения материи. Так же, как и , он справедлив не только для , но и для всех явлений природы. Закон сохранения энергии говорит о том, что в энергию в природе нельзя уничтожить так же, как и создать из ничего.

В наиболее общем виде закон сохранения энергии можно сформулировать так:

• энергия в природе не исчезает и не создается вновь, а только превращается из одного вида в другой.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, попадает в земляной вал и проходит до остановки 0,5 м. Определить сопротивление вала движению пули, если ее масса 24 г.
Решение	Сила сопротивления вала – это внешняя сила, поэтому работа этой силы равна изменению кинетической энергии пули: Так как сила сопротивления вала противоположна направлению движения пули, работа этой силы: Изменение кинетической энергии пули: Таким образом, можно записать: откуда сила сопротивления земляного вала: Переведем единицы в систему СИ: г кг. Вычислим силу сопротивления:
Ответ	Сила сопротивления вала 3,8 кН.

ПРИМЕР 2

Задание	Груз массой 0,5 кг падает с некоторой высоты на плиту массой 1 кг, укрепленную на пружине с коэффициентом жесткости 980 Н/м. Определить величину наибольшего сжатия пружины, если в момент удара груз обладал скоростью 5 м/с. Удар неупругий.
Решение	Запишем для замкнутой системы груз+плита. Так как удар неупругий, имеем: откуда скорость плиты с грузом после удара: По закону сохранения энергии полная механическая энергия груза вместе с плитой после удара равна потенциальной энергии сжатой пружины:

Потенциальную энергию называют энергией взаимодействия физических тел или их частей между собой. Она определяется их взаимным расположением, то есть, расстоянием между ними, и равна работе, которую нужно совершить, чтобы переместить тело из точки отсчёта в другую точку в поле действия консервативных сил.

Потенциальную энергию имеет любое неподвижное физическое тело, поднятое на какую-то высоту, так как на него действует сила тяжести, являющаяся консервативной силой. Такой энергией обладает вода на краю водопада, санки на вершине горы.

Откуда же эта энергия появилась? Пока физическое тело поднимали на высоту, совершили работу и затратили энергию. Вот эта энергия и запаслась в поднятом теле. И теперь эта энергия готова для совершения работы.

Величина потенциальной энергии тела определяется высотой, на которой находится тело относительно какого-то начального уровня. За точку отсчёту мы можем принять любую выбранную нами точку.

Если рассматривать положение тела относительно Земли, то потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю. А на высоте h она вычисляется по формуле:

Е п = mɡh ,

где m – масса тела

ɡ - ускорение свободного падения

h – высота центра масс тела относительно Земли

ɡ = 9,8 м/с 2

При падении тела c высоты h 1 до высоты h 2 сила тяжести совершает работу. Эта работа равна изменению потенциальной энергии и имеет отрицательное значение, так как величина потенциальной энергии при падении тела уменьшается.

A = - (E п2 – E п1) = - ∆ E п ,

где E п1 – потенциальная энергия тела на высоте h 1 ,

E п2 - потенциальная энергия тела на высоте h 2 .

Если же тело поднимают на какую-то высоту, то совершают работу против сил тяжести. В этом случае она имеет положительное значение. А величина потенциальной энергии тела увеличивается.

Потенциальной энергией обладает и упруго деформированное тело (сжатая или растянутая пружина). Её величина зависит от жёсткости пружины и от того, на какую длину её сжали или растянули, и определяется по формуле:

Е п = k·(∆x) 2 /2 ,

где k – коэффициент жёсткости,

∆x – удлинение или сжатие тела.

Потенциальная энергии пружины может совершать работу.

Кинетическая энергия

В переводе с греческого «кинема» означает «движение». Энергия, которой физическое тело получает вследствие своего движения, называется кинетической. Её величина зависит от скорости движения.

Катящийся по полю футбольный мяч, скатившиеся с горы и продолжающие двигаться санки, выпущенная из лука стрела – все они обладают кинетической энергией.

Если тело находится в состоянии покоя, его кинетическая энергия равна нулю. Как только на тело подействует сила или несколько сил, оно начнёт двигаться. А раз тело движется, то действующая на него сила совершает работу. Работа силы, под воздействием которой тело из состояния покоя перейдёт в движение и изменит свою скорость от нуля до ν , называется кинетической энергией тела массой m .

Если же в начальный момент времени тело уже находилось в движении, и его скорость имела значение ν 1 , а в конечный момент она равнялась ν 2 , то работа, совершённая силой или силами, действующими на тело, будет равна приращению кинетической энергии тела.

∆E k = E k2 - E k1

Если направление силы совпадает с направлением движения, то совершается положительная работа, и кинетическая энергия тела возрастает. А если сила направлена в сторону, противоположную направлению движения, то совершается отрицательная работа, и тело отдаёт кинетическую энергию.

Единицей измерения энергии в Международной системе единиц (СИ) является джоуль , а в системе СГС - эрг .

О физическом смысле понятия потенциальной энергии

F → (r →) = − ∇ E p (r →) , {\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-\nabla E_{p}({\vec {r}}),}

или, в простом одномерном случае,

F (x) = − d E p (x) / d x , {\displaystyle F(x)=-{\rm {d}}E_{p}(x)/{\rm {d}}x,}

так что произвол выбора E p 0 {\displaystyle E_{p0}} не сказывается.

Виды потенциальной энергии

В поле тяготения Земли

Потенциальная энергия тела E p {\displaystyle \ E_{p}} в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой:

E p = m g h , {\displaystyle \ E_{p}=mgh,}

где m {\displaystyle \ m} - масса тела, g {\displaystyle \ g} - ускорение свободного падения , h {\displaystyle \ h} - высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем.

В электростатическом поле

Потенциальная энергия материальной точки, несущей электрический заряд q p {\displaystyle \ q_{p}} , в электростатическом поле с потенциалом φ (r →) {\displaystyle \varphi ({\vec {r}})} составляет:

E p = q p φ (r →) . {\displaystyle \ E_{p}=q_{p}\varphi ({\vec {r}}).}

Например, если поле создаётся точечным зарядом в вакууме, то будет E p = q p q / 4 π ε 0 r {\displaystyle \ E_{p}=q_{p}q/4\pi \varepsilon _{0}r} (записано в системе

Понятие энергии как физической величины вводится для характеристики способности тела или системы тел к совершению работы. Как известно, существуют различные виды энергии. Наряду с уже рассмотренной выше кинетической энергией, которой обладает движущееся тело, существуют различные виды потенциальной энергии: потенциальная энергия в поле тяжести, потенциальная энергия растянутой или сжатой пружины или вообще любого упруго деформированного тела и т. д.

Превращения энергии. Основное свойство энергии заключается в ее способности к превращению из одного вида в другой в эквивалентных количествах. Известные примеры таких превращений - переход потенциальной энергии в кинетическую при падении тела с высоты, переход кинетической энергий в потенциальную при подъеме брошенного вверх тела, чередующиеся взаимные превращения кинетической и потенциальной энергий при колебаниях маятника. Каждый из вас может привести массу других подобных примеров.

Потенциальная энергия связана с взаимодействием тел или частей одного тела. Для последовательного введения этого понятия естественно рассмотреть систему взаимодействующих тел. Отправным пунктом здесь может служить теорема о кинетической энергии системы, определяемой как сумма кинетических энергий составляющих систему частиц:

Работа внутренних сил. Как и раньше, когда обсуждался закон сохранения импульса системы тел, будем делить действующие на тела системы силы на внешние и внутренние. По аналогии с законом изменения импульса можно было бы ожидать, что для системы материальных точек изменение кинетической энергии системы будет равно работе только внешних сил, действующих на систему. Но легко видеть, что это не так. При рассмотрении

изменения полного импульса системы импульсы внутренних сил взаимно уничтожались из-за третьего закона Ньютона. Однако работы внутренних сил попарно уничтожаться не будут, так как в общем случае частицы, на которые эти силы действуют, могут совершать разные перемещения.

Действительно, при вычислении импульсов внутренних сил они умножались на одно и то же время взаимодействия, а при вычислении работы эти силы умножаются на перемещения соответствующих тел, которые могут различаться. Например, если две притягивающиеся частицы переместятся навстречу друг другу, то внутренние силы их взаимодействия совершат положительные работы и их сумма будет отлична от нуля.

Таким образом, работа внутренних сил может привести к изменению кинетической энергии системы. Именно благодаря этому обстоятельству механическая энергия системы взаимодействующих тел не сводится только к сумме их кинетических энергий. Полная механическая энергия системы наряду с кинетической энергией включает в себя потенциальную энергию взаимодействия частиц системы. Полная энергия зависит от положений и скоростей частиц, т. е. она представляет собой функцию механического состояния системы.

Потенциальная энергия. Наряду с делением сил, действующих на частицы системы, на внешние и внутренние, для введения понятия потенциальной энергии нужно разбить все силы на две группы по другому признаку.

В первую группу отнесем силы, работа которых при изменении взаимных положений частиц не зависит от способа изменения конфигурации системы, т. е. от того, по каким траекториям и в какой последовательности частицы системы перемещаются из своих начальных положений в конечные. Такие силы будем называть потенциальными. Примерами потенциальных сил могут служить силы тяготения, кулоновские силы электростатического взаимодействия заряженных частиц, упругие силы. Соответствующие силовые поля также называются потенциальными.

Ко второй группе отнесем силы, работа которых зависит от формы пути. Эти силы объединим под названием непотенциальных. Наиболее характерный пример непотенциальных сил - сила трения скольжения, направленная противоположно относительной скорости.

Работа в однородном поле. Потенциальная энергия количественно определяется через работу потенциальных сил. Рассмотрим, например, некоторое тело в однородном поле тяжести Земли, которую из-за ее большой массы будем считать неподвижной. В однородном поле действующая на тело сила тяжести всюду одинакова, и потому, как было показано в предыдущем параграфе,

ее работа при перемещении тела не зависит от формы траектории, соединяющей начальную и конечную точки. Работа силы тяжести при перемещении тела из положения 1 в положение 2 (рис. 115) определяется только разностью высот в начальном и конечном положениях:

Так как работа не зависит от формы пути, она может служить характеристикой начальной и конечной точек, т. е. характеристикой самого силового поля.

Рис. 115. Работа силы тяжести при перемещении из положения 1 в положение 2 равна

Примем какую-либо точку поля (например, ту, от которой отсчитаны высоты в формуле за начало отсчета и будем рассматривать работу, совершаемую силой тяжести при перемещении частицы в эту точку из другой произвольной точки Р, находящейся на высоте Эта работа, как следует из (2), равна и называется потенциальной энергией частицы в точке Р:

Фактически это есть потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела и Земли, создающей это поле.

Работа и потенциальная энергия. Работа силы тяжести при перемещении тела из точки 1 в точку 2, даваемая формулой (2), равна разности потенциальных энергий в начальной и конечной точках пути:

В произвольном потенциальном поле, где модуль и направление силы зависят от положения частицы, потенциальная энергия в некоторой точке Р, как и в однородном поле, равна работе силы поля при перемещении частицы из этой точки Р в начало отсчета, т. е. в фиксированную точку, потенциальная энергия в которой принята равной нулю. Выбор точки, в которой потенциальная энергия принимается равной нулю, произволен и определяется только соображениями удобства. Например, в однородном поле тяжести Земли отсчет высоты и потенциальной энергии удобно вести от поверхности Земли (уровня моря).

Отмеченная неоднозначность в определении потенциальной энергии никак не сказывается на результатах при практическом использовании понятия потенциальной энергии, так как физический смысл

имеет только изменение потенциальной энергии, т. е. разность ее значений в двух точках поля, через которую выражается работа сил поля при перемещении тела из одной точки в другую.

Центральное поле. Покажем потенциальный характер центрального поля, в котором сила зависит только от расстояния до силового центра и направлена по радиусу. Примерами центральных полей могут служить поле тяготения планеты или любого тела со сферически-симметричным распределением масс, электростатическое поле точечного заряда и т. д.

Пусть тело, на которое действует центральная сила направленная по радиусу от силового центра О (рис. 116), перемещается из точки 1 в точку 2 по некоторой кривой. Разобьем весь путь, на маленькие участки так, чтобы силу в пределах каждого участка можно было считать постоянной. Работа силы на таком участке

Но как видно из рис. 116, есть проекция элементарного перемещения на направление радиуса-вектора проведенного из силового центра: Таким образом, - работа на отдельном участке равна произведению силы на изменение расстояния до силового центра. Суммируя работы на всех участках, убеждаемся, что работа сил поля при перемещении тела из точки I в точку 2 равна работе по перемещению вдоль радиуса из точки I в точку 3 (рис. 116). Итак, эта работа определяется только начальным и конечным расстояниями тела от силового центра и не зависит от формы пути, что и доказывает потенциальный характер любого центрального поля.

Рис. 116. Работа сил центрального поля

Потенциальная энергия в поле тяготения. Чтобы получить явное выражение для потенциальной энергии тела в некоторой точке поля, нужно рассчитать работу при перемещении тела из этой точки в другую, потенциальная энергия в которой принимается равной нулю. Приведем выражения для потенциальной энергии в некоторых важных случаях центральных полей.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия точечных масс и М или тел со сферически-симметричным распределением масс, центры которых находятся на расстоянии друг от друга, дается выражением

Разумеется, об этой энергии можно говорить и как о потенциальной энергии тела массы в поле тяготения, создаваемом телом массы М. В выражении (5) потенциальная энергия принята равной нулю при бесконечно большом расстоянии между взаимодействующими телами: при

Для потенциальной энергии тела массы в поле тяготения Земли удобно видоизменить формулу (5) с учетом соотношения (7) из § 23 и выразить потенциальную энергию через ускорение свободного падения поверхности Земли и радиус Земли

Если высота тела над поверхностью Земли мала по сравнению с радиусом Земли то, подставляя в в виде и используя приближенную формулу можно преобразовать формулу (6) следующим образом:

Первое слагаемое в правой части (7) можно опустить, так как оно постоянно, т. е. не зависит от положения тела. Тогда вместо (7) имеем

что совпадает с формулой (3), полученной в приближении «плоской» Земли для однородного поля тяжести. Подчеркнем, однако, что в отличие от (6) или (7) в формуле (8) потенциальная энергия отсчитывается от поверхности Земли.

Задачи

1. Потенциальная энергия в поле тяготения Земли. Чему равна потенциальная энергия тела на поверхности Земли и на бесконечно большом расстоянии от Земли, если принять ее равной нулю в центре Земли?

Решение. Чтобы найти потенциальную энергию тела на поверхности Земли при условии, что она равна нулю в центре Земли, нужно рассчитать работу, совершаемую силой тяготения при мысленном перемещении тела с поверхности Земли в ее центр. Как было выяснено ранее (см. формулу (10) § 23), действующая на находящееся в глубине Земли тело сила тяготения пропорциональна его расстоянию от центра Земли, если считать Землю однородным шаром с одинаковой всюду плотностью:

Для вычисления работы весь путь от поверхности Земли до ее центра разбиваем на малые участки, на протяжении которых силу можно считать постоянной. Работа на отдельном малом участке изображается на графике зависимости силы от расстояния (рис. 117) площадью узкой заштрихованной полоски. Эта работа положительна, так как направления силы тяжести и перемещения совпадают. Полная работа, очевидно,

изображается площадью треугольника с основанием и высотой

Значение потенциальной энергии на поверхности Земли равно работе, даваемой формулой (9):

Для того чтобы найти значение потенциальной энергии на бесконечно большом расстоянии от Земли, следует учесть, что разность потенциальных энергий на бесконечности и на поверхности Земли равна, в соответствии с (6), и не зависит от того, где выбран нуль потенциальной энергии. Именно такую величину нужно прибавить к значению (10) потенциальной энергии на поверхности, чтобы получить искомое значение на бесконечности:

2. График потенциальной энергии. Постройте график потенциальной энергии тела массы в поле тяготения Земли, считая ее однородным шаром.

Решение. Примем для определенности значение потенциальной энергии в центре Земли равным нулю.

Рис. 117. К расчету потенциальной энергии

Рис. 118. График потенциальной энергии

Для любой внутренней точки, находящейся на расстоянии от центра Земли, потенциальная энергия рассчитывается так же, как и в предыдущей задаче: как следует из рис. 117, она равна площади треугольника с основанием и высотой Таким образом,

Для построения графика потенциальной энергии при где сила убывает обратно пропорционально квадрату расстояния (рис. 117), следует воспользоваться формулой (6). Но в соответствии со сделанным выбором точки отсчета потенциальной энергии к значению, даваемому

мулой (6), следует прибавить постоянную величину Поэтому

Полный график показан на На участке от центра Земли до ее поверхности он представляет собой отрезок параболы (12), минимум которой расположен при Такую зависимость иногда называют «квадратичной потенциальной ямой». На участке от поверхности Земли до бесконечности график представляет собой отрезок гиперболы (13). Эти отрезки параболы и гиперболы плавно, без излома, переходят друг в друга. Ход графика соответствует тому, что в случае сил притяжения потенциальная энергия возрастает при увеличении расстояния.

Энергия упругой деформации. К потенциальным силам относятся также и силы, возникающие при упругой деформации тел. В соответствии с законом Гука эти силы пропорциональны деформации. Поэтому потенциальная энергия упругой деформации квадратично зависит от деформации. Это становится сразу ясным, если учесть, что зависимость силы от смещения из положения равновесия здесь такая же, как и у рассмотренной выше силы тяжести, действующей на тело внутри однородного массивного шара. Например, при растяжении или сжатии на упругой пружины жесткости к, когда действующая сила потенциальная энергия дается выражением

Здесь принято, что в положении равновесия потенциальная энергия равна нулю.

Потенциальная энергия в каждой точке силового поля имеет определенное значение. Поэтому она может служить характеристикой этого поля. Таким образом, силовое поле можно описать, задавая либо силу в каждой точке, либо значение потенциальной энергии. Эти способы описания потенциального силового поля эквивалентны.

Связь силы и потенциальной энергии. Установим связь этих двух способов описания, т. е. общее соотношение между силой и изменением потенциальной энергии. Рассмотрим перемещение тела между двумя близкими точками поля. Работа сил поля при этом перемещении равна . С другой стороны, эта работа равна разности значений потенциальной энергии в начальной и конечной точках перемещения т. е. взятому с обратным знаком изменению потенциальной энергии. Поэтому

Левую часть этого соотношения можно записать в виде произведения проекции силы на направление перемещения и модуля этого перемещения Отсюда

Проекция потенциальной силы на произвольное направление может быть найдена как взятое с обратным знаком отношение изменения потенциальной энергии при малом перемещении вдоль этого направления к модулю перемещения.

Эквипотенциальные поверхности. Обоим способам описания потенциального поля можно сопоставить наглядные геометрические образы - картины силовых линий или эквипотенциальных поверхностей. Потенциальная энергия частицы в силовом поле является функцией ее координат. Приравнивая постоянной величине, получаем уравнение поверхности, во всех точках которой потенциальная энергия имеет одно и то же значение. Эти поверхности равных значений потенциальной энергии, называемые эквипотенциальными, дают наглядную картину силового поля.

Сила в каждой точке направлена перпендикулярно проходящей через эту точку эквипотенциальной поверхности. Это легко увидеть с помощью формулы (15). В самом деле, выберем перемещение вдоль поверхности постоянной энергии. Тогда , следовательно, равна нулю проекция силы на поверхность Так, например, в гравитационном поле, создаваемом телом массы М со сферически-симметричным распределением масс, потенциальная энергия тела массы дается выражением Поверхности постоянной энергии такого поля представляют собой сферы, центры которых совпадают с силовым центром.

Действующая на массу сила перпендикулярна эквипотенциальной поверхности и направлена к силовому центру. Проекцию этой силы на радиус, проведенный из силового центра, можно найти из выражения (5) для потенциальной энергии с помощью формулы (15):

что при дает

Полученный результат подтверждает приведенное выше без доказательства выражение для потенциальной энергии (5).

Наглядное представление о поверхностях равных значений потенциальной энергии можно составить на примере рельефа пересеченной

местности. Точкам земной поверхности, находящимся на одном горизонтальном уровне, соответствуют одинаковые значения потенциальной энергии поля тяготения. Эти точки образуют непрерывные линии. На топографических картах такие линии называются горизонталями. По горизонталям легко восстановить все черты рельефа: холмы, впадины, седловины. На крутых склонах горизонтали идут гуще, ближе друг к другу, чем на пологих. В этом примере равным значениям потенциальной энергии соответствуют линии, а не поверхности, так как здесь речь идет о силовом поле, где потенциальная энергия зависит от двух координат (а не от трех).

Объясните различие между потенциальными и непотенциальными силами.

Что такое потенциальная энергия? Какие силовые поля называются потенциальными?

Получите выражение (2) для работы силы тяжести в однородном поле Земли.

С чем связана неоднозначность потенциальной энергии и почему эта неоднозначность никак не сказывается на физических результатах?

Докажите, что в потенциальном силовом поле, где работа при перемещении тела между любыми двумя точками не зависит от формы траектории, работа при перемещении тела по любому замкнутому пути равна нулю.

Получите выражение (6) для потенциальной энергии тела массы в поле тяготения Земли. Когда справедлива эта формула?

Как зависит потенциальная энергия в поле тяготения Земли от высоты над поверхностью? Рассмотрите случаи, когда высота мала и когда она сравнима с радиусом Земли.

Укажите на графике зависимости потенциальной энергии от расстояния (см. рис. 118) область, где справедливо линейное приближение (7).

Вывод формулы для потенциальной энергии. Чтобы получить формулу (5) для потенциальной энергии в центральном поле тяготения, нужно вычислить работу сил поля при мысленном перемещении тела массы из данной точки в бесконечно удаленную точку. Работа в соответствии с формулой (4) § 31, выражается интегралом от силы вдоль траектории, по которой перемещается тело. Так как эта работа не зависит от формы траектории, вычислять интеграл можно для перемещения по радиусу, проходящему через интересующую нас точку;